第三章应力与强度计算
作者:admin
发布日期:2020-01-02

       

  第三章杆件的应力与强度计算 一.基本要求 1.拉伸与压缩变形 1.1 熟练掌握应力的计算,理解胡克定律。 1.2 了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。 1.3 理解许用应力、安全系数和 强度条件,熟练计算强度问题。 2.扭转变形 2.1 理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。 2.2 理解圆轴扭转时应力公式推导方法,并熟练计算扭转应力。 2.3 理解圆轴扭转强度条件的建立方法,并熟练计算强度问题。 3.弯曲变形 3.1 理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法,熟练掌握弯曲正应力及强度问 3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法,掌握简单截面梁弯曲切应力的计 算及弯曲切应力强度条件。 4.剪切与挤压变形:了解剪切和挤压的概念,熟练掌握剪切和挤压的实用计算方 5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。3.1 引言 本章讨论了拉伸或压缩、扭转变形和弯曲变形的应力和强度计算,以及剪切和挤 压的实用计算。 3.2 拉压杆的应力与应变 一.轴向拉(压)杆横截面上的应力 1)平面假设:变形前后横截面保持为平面,而且仍垂直于杆轴线 根据平面假设得知,横截面上各点正应力ζ相等,即正应力均匀分布于横截 面上,ζ 等于常量。 2)由静力平衡条件确定ζ 的大小 由于dN=ζ dA,所以积分得 式中:ζ—横截面上的正应力FN—横截面上的轴力 A—横截面面积 此式对于过集中力作用点的横截面不适应。 3)正应力ζ 的正负号规定为:拉应力为正,压应力为负。 对于的变截面直杆,在考虑杆自重(密度ρ)时,有 FN=ζdA=ζA Aζ=FN Aζx=FNx Ax 其中FN=P+ρAx 若不考虑自重,则FNx=P对于等截面直杆,最大正应力发生在最大轴力处,也就是最易破坏处。而对于变 截面直杆,最大正应力的大小不但要考虑FNx,同时还要考虑Ax。 起吊三角架,如图2-10所示,已知AB杆由2 根截面面积为10.86cm的角钢 制成,2 P=130kN,α=30 。求AB杆横截面上的应力。 解:(1)计算AB 杆内力 取节点A为研究对象,由平衡条件Y=0,得 FNABsin30 FNAB=2P=260kN(拉力)(2)计算 ζABFNAB260 103== 10-6=119.7MPa -4A10.86 1022 起吊钢索如图2-11所示,截面积分别为A1=3cm,A2=4cm,l1=l2=50m, P=12kN,ρ=0.028N/cm3,试绘制轴力图,并求ζmax。 解:(1)计算轴力 AB段:取1—1 截面 FN1=P+ρA1x1 (0x1l1) 截面FN2=P+ρA1l1+ρA2(x2- l1) (l1x2l1+l2) (2)绘轴力图当x1=0 时,FNA=P=12kN (拉力) 50102=12.42kN (拉力) 当x2=l1 FNB=P+ρA1l1+ρA2(l1-l1)=12.42kN (拉力) 当x2=l1+l2 FNC=P+ρA1l1+ρA2l2=12.98kN(拉力) 轴力图如图2-11b。 (3)应力计算 FNB12.42 103 -6ζB== 10=41.4MPa (拉应力) -4A13 10 ζC=FNC A212.98 103-6= 10=36.8MPa (拉应力) -44 10 比较ζB,ζC 的大小,得ζmax=41.4Mpa 二.轴向拉(压)杆斜截面上的应力 对于沿斜截面发生破坏的拉(压)杆,如何确定斜截面k—k 上的应力? 的轴向拉力为P(如图2-12),横截面面积为A,由于k—k 截面上的内力 而且Pα均匀分布。 若以P 于是有 表示斜截面k—k上的应力, AαA,所以cosαpα=Pcosα=ζcosα 则将Pα分解成正应力ζα 和切应力ηα,有 ζα=pαcosα=ζcos2α ηα=pαsinα=ζ 2sin2α 所以斜截面k—k 上的应力 ζα=ζcos2α (2-3) 2sin2α(2-4) 为正;反之为负;ζα—拉应力为正,压应力为负; ηα—取保留截面内任一点为矩心,而ηα 对矩心顺时针为正,反之为负。 讨论式 (2-3)和(2-4): 时,横截面ζαmax=ζ,ηα=02)当α=+45 时,斜截面ζα= ζ2,ηαmax=ζ2 3)当α=90 时,纵向截面ζα=0, 结论:对于轴向拉(压)杆,ζmax=ζ,发生在横截面上;ηmax=45角的斜截面上。 木立柱承受压力P,上面放有钢块,如图2-13所示,其截面积A1 2cm,2ζ2,发生在沿顺时针转ζ钢=35MPa,木柱截面积A2=8 cm2,求木柱顺纹方向切应力大小及指向。 解:(1)计算木柱压力P,由 A1所以P=ζ A1=35106 10-4=14kN(压力)(2)计算木柱的正应力ζ30 ζ30 P14103== 10-6=2.19MPa (压应力) -4A264 10 η30= ζ302 sin(2 300)=0.95 MPa η30 指向如图所示。 三.拉(压)杆的应变和胡克定律 (1)变形及应变 杆件受到轴向拉力时,轴向伸长,横向缩短;受到轴向压力时,轴向缩短,横向 伸长。如图3-2。 图3-2 轴向变形 l=l1- 1-b横向线应变 正负号规定伸长为正,缩短为负。 (2)胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比。即 (3-5)或用轴力及杆件的变形量表示为 l=FNl (3-6) EA 式中EA称为杆件的抗拉(压)刚度,是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件: (a)材料在线弹性范围内工作,即ζ 长度内其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同,则应分段计算,求其代数和得总变形。即 l=i=1nNili (3-7) EiAi (3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时,横向应变与轴向应变之比的绝对值。即 3.3.材料在拉伸或压缩时的力学性能一.基本概念 1.材料的力学性能:反映材料在受力过程中所表现出的受力变形等方面的特性。 如弹性模量E,极限强度等。 2.研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些指标,以作为选 用材料,计算材料、的依据。 3.常温静载试验来测定材料的力学性能。 圆截面试件,如图2-14:标距l 与直径d 的比例为,l=10d,l=5d;具体试验见材 料力学试验。 板试件(矩形截面):标距 与横截面面积A的比例为,l=11.3A,l=5.A 试验设 备一是用来施加载荷;二是用来测量变形。 低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。 1)拉伸图(P—ΔL),如图2-15 所示。 弹性阶段(oa) 屈服(流动)阶段(bc) 强化阶段(ce) 由于P—ΔL曲线与试样的尺寸有关,为了 消除试件尺寸的影响,采用应力应变曲线所示,其 各特征点的含义为: oa 段:在拉伸(或压缩)的初始阶段应 与应变ε为直线关系直至a 点,此时a 点所对应的应力值称为比例极限。它是应力 与应变成正比例的最大极限。此段写成等式为 (2-5)即胡克定律,它表示当工作应力小于ζp 时,应力与应变成正比。 E=ζ=tanα E为弹性模量,应力—ζ-ε)曲线上初始点(零点)至比例极限点的 应力ζ 与应变ε 为直线关系,该直线的 斜率定义为材料的弹性模量,单位与ζ 相同。 应力—应变曲线上当应力增加到b 点时,再将应力降为零,则应变随之消 失;一旦应力超过b 点,卸载后,有一 部分应变不能消除,则b 点的应力定义为弹性极限ζe。 是材料只出现弹性变形的极限值。 bc 段:应力超过弹性极限后继续对塑性材料加载,会出现一种现象,即在应力增 加很少或不增加时,应变会很快增加,这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对 应的应力叫屈服极限ζs。又称屈服强度。在屈服阶段应变不断增加,而应力不 变;当屈服时,材料产生显著的塑性变形,所以ζs 是衡量材料强度的重要指 表面磨光的试样屈服时,表面将出现与轴线倾角的条纹,这是由于材料内部相对滑移形成的,称为滑移线 所示。 ce 段:应变强化阶段的最高点(e 点)所对应的应力称为强度极限ζb。它 表示材料所能承受的最大应力。 点后,即应力达到强度极限后,局部截面发生剧烈收缩的现象,称为颈 缩,如图2-18 所示。在一定温度范围内,材料在不变应力作用下,其变形随时间 缓慢增加的现象,叫蠕变。 对低碳钢来说,ζs,ζb 是衡量材料强度的重要指标。 3)延伸率和截面收缩率 延伸率定义为 截面收缩率定义为l1-l 100% ψ=A-A1100% 对于低碳钢:δ=20-30%,ψ=60%,这两个值越大,说明材料塑性越好。工程上 通常按延伸率的大小把材料分为两类:δ5%—塑 性材料;δ

  1,所以竖放比平放有较高的抗弯6W2b能力。当截面的形状不同时,可以用比值 性。常见截面的 W来衡量截面形状的合理性和经济AW值列于表6-1 表中的数据表明,材料远离中性轴的截面(如圆环形、工字形等)比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面高度线性分布,中性轴附近的应力较小,该处的 材料不能充分发挥作用,将这些材料移置到离中性轴较远处,则可使它们得到充 分利用,形成“合理截面”。工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截 面,房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板,道理就在于此。需要指出的是,对于矩 形,工字形等截面,增加截面高度虽然能有效地提高抗弯截面系数;但若高度过 大,宽度过小,则在载荷作用下梁会发生扭曲,从而使梁过早的丧失承载能力。 对于拉、压许用应力不相等的材料(例如大多数脆性材料),采用 T字形等中性 轴距上下边不相等的截面较合理。设计时使中性轴靠近拉应力的一侧,以使危险 截面上的最大拉应力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力。 2)用变截面梁 对于等截面梁,除Mmax所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外,其余截 面的应力均小于,甚至远小于许用应 力。因此,为了节省材料,减轻结 构的重量,可在弯矩较小处采用较 小的截面,这种截面尺寸沿梁轴线 变化的梁称为变截面梁。若使变截 面梁每个截面上的最大正应力都等 于材料的许用应力,则这种梁称为 等强度梁。考虑到加工的经济性及 其他工艺要求,工程实际中只能作 成近似的等强度梁,例如机械设备 中的阶梯轴(图6-16a),摇臂钻床 的摇臂(图6-16c)及工业厂房中的鱼腹梁(图6-16b)等。 3.提高材料的力学性能 构件选用何种材料,应综合考虑安全、经济等因素。近年来低合金钢生产发展迅 速,如16Mn、15MnTi 钢等。这些低合金钢的生产工艺和成本与普通钢相近,但 强度高、韧性好。南京长江大桥广泛的采用了16Mn钢,与低碳钢相比节约了 15%的钢材。铸铁抗拉强度较低,但价格低廉。铸铁经球化处理成为球墨铸铁 后,提高了强度极限和塑性性能。不少工厂用球墨铸铁代替钢材制造曲轴和齿 轮,取得了较好的经济效益。 3.12 剪切与挤压的实用计算 一.剪切变形的定义 通过如图3-1 所示的钢杆受剪和图3-2 所示的联接轴与轮的键的受剪情况,可以 看出,工程上的剪切件有以下特点: 1)受力特点 杆件两侧作用大小相等,方向相反, 作用线)变形特点 两外力作用线间截面发生错动,由矩 形变为平行四边形。(见动画:受剪切作 剪切定义为相距很近的两个平行平面内,分别作用着大小相等、方向相对(相 反)的两个力,当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时,构 件在这两个平行面间的任一(平行)横截面将只有剪力作用,并产生剪切变形。 二.剪应力及剪切实用计算 剪切实用计算中,假定受剪面上各点处与剪力Q相平行的剪应力相等,于是受剪 面上的剪应力为 式中:Q—剪力;A—剪切面积η—名义剪切力 剪切强度条件可表示为: (3-1)AQ[η] (3-2) 对于如图3-3所示的平键,键的尺寸为b l,其剪切面积为:A=b 电瓶车挂钩由插销联接,如图3-4a。插销材料#为20 钢,[η]=30MPa,直径d=20mm。挂钩及被联 接的板件的厚度分别为t=8mm和1.5t=12mm。牵引 力P=15kN。试校核插销的剪切强度。 解:插销受力如图3-4b 所示。根据受力情况,插销中段相对于上、下两段,沿 n—n两个面向左错动。所以有两个剪切面,称为双剪切。由平衡方程容易求出 Q15103 η===23.9MPa

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